domingo, 16 de junho de 2013

Sequência de atividades para a construção do conceito do Teorema de Pitágoras


A sequência de atividades propõe o emprego das quatro fases para a resolução de problemas de Polya como metodologia de ensino e aprendizagem do Teorema de Pitágoras, auxiliando o professor da Rede Pública do Estado de São Paulo no desenvolvimento das atividades propostas no caderno do aluno 8º ano, volume 4, situação de aprendizagem 3, onde o estudo de padrões numéricos e geométricos tornam-se argumentos na demonstração deste teorema. Nosso objetivo é desenvolver o raciocínio hipotético dedutivo do aluno na construção de conceitos matemáticos e na compreensão do seu significado, bem como em sua aplicação na resolução de problemas em diferentes contextos.

 
Atividade 1

Utilizando papel quadriculado, construa quadrados de lados iguais a 3, 4 e 5 unidades. Pinte de cores diferentes o interior de cada um deles e calcule suas respectivas áreas. Analise os valores de suas áreas e conclua uma relação entre elas.

Dica:
Ø Qual operação matemática pode ser efetuada para encontrar uma relação entre os três valores?
Solução:
Espera-se que o aluno seja capaz de concluir que a soma das áreas dos quadrados de lados 3 e 4 é igual a área do quadrado de lado 5, ou seja que  3^2+4^2 = 5^2.
 
Atividade 2
Utilizando papel quadriculado, construa um triângulo de lados iguais a 3, 4 e 5 unidades. Recorte os três quadrados da atividade anterior e sobre cada lado do triângulo acomode os quadrados cujas medidas dos lados correspondem às medidas dos lados do triângulo. Considerando que o lado maior do triângulo chama-se hipotenusa e os outros dois lados chamam-se catetos, analise a figura formada e formule uma sentença que associe a soma das áreas dos quadrados ao triângulo de lados 3, 4 e 5.
 
Solução:
Espera-se que o aluno seja capaz de concluir  que os números 3, 4 e 5, lados do triângulo retângulo, se relacionam pela expressão 3^2 + 4^2 = 5^2 e assim formule uma sentença próxima de: A área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos quadrados menores, ou seja no triângulo retângulo de lados iguais a 3, 4 e 5, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual a soma das áreas dos quadrados sobre os catetos.
Sendo assim, apresentado formalmente o Teorema de Pitágoras:Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos”,  ou simplesmente  A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”.
 



Atividade 3

Utilizando os três quadrados da atividade anterior, demonstre geometricamente que “Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos”

Dica:

Ø O quadrado menor  pode ser decomposto em quadradinhos?

Solução:

Espera-se que o aluno seja capaz de concluir que o quadrado de lado 4 pode ser sobreposto a 16 quadradinhos do quadrado de lado 5. O quadrado de lado 3 deve ser decomposto de modo a completar a área do quadrado de lado 5.

Ou que, com os quadradinhos formados pela decomposição do quadrado menor, pode-se criar um novo quadrado de lado 5, aumentando o lado do quadrado de lado 4 em uma unidade. Percebe-se então que temos 2 quadrados de mesma área.
 
Atividade 4
Com base nos conhecimentos adquiridos até agora, e observando as figuras abaixo, comprove geometricamente que  a^2 = b^2 + c^2 (Teorema de Pitágoras).


Dica:

Ø A figura 1 pode ser decomposta em quatro triângulos retângulos congruentes e dois quadrados?  Observando que os quadrados tem como lados cada um dos catetos do triângulo retângulo.

Ø A figura 2 pode ser decomposta em quatro triângulos retângulos congruentes e um quadrado?  Observando que o quadrado formado tem lado igual à hipotenusa do triângulo retângulo.

Ø Os triângulos retângulos numerados de 1 a 4 podem ser sobrepostos na figura 3? Observando que eles devem ocupar suas respectivas posições.

Ø Qual a medida do lado do quadrado da figura 3? Observando que é um quadrado de lado igual a soma dos catetos.

Solução:

Espera-se que o aluno seja capaz de concluir  que as figuras 1 e 2 tem a mesma área e que, portanto, retirando-se as áreas dos triângulos retângulos, restam três quadrados, comprovando que a área do quadrado da hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados dos catetos.

 
Atividade 5
Observe a figura abaixo e com base nos nas informações da atividade anterior prove algebricamente que a^2 = b^2 + c^2 (Teorema de Pitágoras).



Dicas:

Ø Como podemos chamar a medida da hipotenusa e as medidas dos catetos do triângulo retângulo em destaque?

Ø Qual é a área do quadrado maior? Observando que é igual à soma das áreas do quadrado interior inclinado de lado a com os quatro triângulos retângulos de catetos b e c .

Ø Qual a medida do lado do quadrado maior?  Observando que a sua área é igual a (b+c)^2

Ø Qual a área do quadrado interior inclinado de lado a ?

Ø Podemos formar dois retângulos com quatro triângulos retângulos de catetos  b e c? Observando que a soma de suas áreas é igual a 2.b.c

Ø Qual a relação existente entre essas áreas?

Solução:
Espera-se que o aluno seja capaz de concluir que (b + c)^2 = a^2 + 2bc  e efetuar os cálculos:
(b+c)^2 = a^2+2bc
b^2+2bc+c^2 + a^2+2bc
b^2 +c^2= a^2
 
 
Atividade 6
Observe a figura abaixo e responda a pergunta: É possível construir um quadrado cujos lados sejam iguais a  a + b e provar algebricamente que a^2 + b^2 = c^2?
 
Dicas:
Ø Qual a área da figura 1?
Ø Qual a área do quadrado dentro da figura 2?
Ø Retirando o quadrado de lado c da figura 2, sobram quantos triângulos retângulos? Observando que são triângulos de hipotenusa c e catetos iguais a b e c.
Ø Qual a área dos quatro triângulos retângulos?  Observando que essa área é igual a        4. ab/2 = 2ab
Ø Qual a relação existente entre essas áreas?
Solução:
Espera-se que o aluno seja capaz de concluir que (a+b)^2 = c^2 + 2ab e efetuar os cálculos:
 
 
(a+b)^2 = c^2 + 2ab
a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab
a^2 + b^2 = c^2
 
Atividade 7
Na figura abaixo os catetos do triângulo retângulo medem 7 cm e 24 cm. Com base nessa informação, encontre a hipotenusa desse triângulo.


Dica:

Ø Pode ser utilizado o Teorema de Pitágoras?

Solução:

Espera-se que o aluno seja capaz de substituir em a^2 = b^2 + c^2 os valores dos catetos e efetuar o cálculo.

a^2 = b^2 + c^2

a^2 = 7^2 + 24^2

a^2 = 49 + 576

a^2 = 625

a = 25


 

 
 
 
 
 
 
 
 
 

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