A sequência de atividades propõe o
emprego das quatro fases para a resolução de problemas de Polya como
metodologia de ensino e aprendizagem do Teorema de Pitágoras, auxiliando o
professor da Rede Pública do Estado de São Paulo no desenvolvimento das
atividades propostas no caderno do aluno 8º ano, volume 4, situação de
aprendizagem 3, onde o estudo de padrões numéricos e geométricos tornam-se
argumentos na demonstração deste teorema. Nosso objetivo é desenvolver o
raciocínio hipotético dedutivo do aluno na construção de conceitos matemáticos
e na compreensão do seu significado, bem como em sua aplicação na resolução de
problemas em diferentes contextos.
Atividade
1
Utilizando
papel quadriculado, construa quadrados de lados iguais a 3, 4 e 5 unidades.
Pinte de cores diferentes o interior de cada um deles e calcule suas
respectivas áreas. Analise os valores de suas áreas e conclua uma relação entre
elas.
Dica:
Ø Qual operação matemática pode ser
efetuada para encontrar uma relação entre os três valores?
Solução:
Espera-se
que o aluno seja capaz de concluir que a soma das áreas dos quadrados de lados
3 e 4 é igual a área do quadrado de lado 5, ou seja que 3^2+4^2 = 5^2.
Atividade
2
Utilizando
papel quadriculado, construa um triângulo de lados iguais a 3, 4 e 5 unidades.
Recorte os três quadrados da atividade anterior e sobre cada lado do triângulo
acomode os quadrados cujas medidas dos lados correspondem às medidas dos lados
do triângulo. Considerando que o lado maior do triângulo chama-se hipotenusa e
os outros dois lados chamam-se catetos, analise a figura formada e formule uma
sentença que associe a soma das áreas dos quadrados ao triângulo de lados 3, 4
e 5.
Solução:
Espera-se
que o aluno seja capaz de concluir que
os números 3, 4 e 5, lados do triângulo retângulo, se relacionam pela expressão
3^2 + 4^2 = 5^2
e assim formule
uma sentença próxima de: A área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos
quadrados menores, ou seja no triângulo retângulo de lados iguais a 3, 4 e 5, a
área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual a soma das áreas dos
quadrados sobre os catetos.
Sendo
assim, apresentado formalmente o Teorema de Pitágoras: “Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos
catetos”, ou simplesmente “A
soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”.
Atividade
3
Utilizando
os três quadrados da atividade anterior, demonstre geometricamente que “Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados
cujos lados são os catetos”
Dica:
Ø O
quadrado menor pode ser decomposto em quadradinhos?
Solução:
Espera-se
que o aluno seja capaz de concluir que o quadrado de lado 4 pode ser sobreposto
a 16 quadradinhos do quadrado de lado 5. O quadrado de lado 3 deve ser
decomposto de modo a completar a área do quadrado de lado 5.
Ou
que, com os quadradinhos formados pela decomposição do quadrado menor, pode-se
criar um novo quadrado de lado 5, aumentando o lado do quadrado de lado 4 em
uma unidade. Percebe-se então que temos 2 quadrados de mesma área.
Atividade
4
Com
base nos conhecimentos adquiridos até agora, e observando as figuras abaixo,
comprove geometricamente que a^2 = b^2 +
c^2 (Teorema de Pitágoras).
Dica:
Ø A figura 1 pode ser decomposta em
quatro triângulos retângulos congruentes e dois quadrados? Observando que os quadrados tem como lados
cada um dos catetos do triângulo retângulo.
Ø A figura 2 pode ser decomposta em
quatro triângulos retângulos congruentes e um quadrado? Observando que o quadrado formado tem lado
igual à hipotenusa do triângulo retângulo.
Ø Os triângulos retângulos numerados
de 1 a 4 podem ser sobrepostos na figura 3? Observando que eles devem ocupar
suas respectivas posições.
Ø Qual a medida do lado do quadrado da
figura 3? Observando que é um quadrado de lado igual a soma dos catetos.
Solução:
Espera-se
que o aluno seja capaz de concluir que
as figuras 1 e 2 tem a mesma área e que, portanto, retirando-se as áreas dos
triângulos retângulos, restam três quadrados, comprovando que a área do
quadrado da hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados dos catetos.
Atividade
5
Observe
a figura abaixo e com base nos nas informações da atividade anterior prove
algebricamente que a^2 = b^2 + c^2 (Teorema de Pitágoras).
Dicas:
Ø Como
podemos chamar a
medida da hipotenusa e as medidas dos catetos do triângulo retângulo em
destaque?
Ø Qual é a área do quadrado maior?
Observando que é igual à soma das áreas do quadrado interior inclinado de lado a com os quatro
triângulos retângulos de catetos b e c .
Ø Qual a medida do lado do quadrado
maior? Observando que a sua área é igual
a (b+c)^2
Ø Qual
a área do quadrado interior inclinado de lado a ?
Ø Podemos formar dois retângulos com
quatro triângulos retângulos de catetos b e c? Observando que a soma de suas áreas é igual a 2.b.c
Ø Qual a relação existente entre essas
áreas?
Solução:
Espera-se
que o aluno seja capaz de concluir que (b + c)^2 = a^2 + 2bc e efetuar os cálculos:
(b+c)^2 = a^2+2bc
b^2+2bc+c^2 + a^2+2bc
b^2 +c^2= a^2
Atividade
6
Observe
a figura abaixo e responda a pergunta: É possível construir um quadrado cujos
lados sejam iguais a a + b e provar
algebricamente que a^2 + b^2 = c^2?
Dicas:
Ø Qual a área da figura 1?
Ø Qual
a área do quadrado dentro da figura 2?
Ø Retirando
o quadrado de lado c da figura 2, sobram
quantos triângulos retângulos? Observando que são triângulos de hipotenusa c e catetos iguais a b
e c.
Ø Qual a área dos quatro triângulos
retângulos? Observando que essa área é
igual a 4. ab/2 = 2ab
Ø Qual a relação existente entre essas
áreas?
Solução:
Espera-se
que o aluno seja capaz de concluir que (a+b)^2 = c^2 + 2ab e efetuar os cálculos:
(a+b)^2
= c^2 + 2ab
a^2
+ 2ab + b^2 = c^2 + 2ab
a^2
+ b^2 = c^2
Atividade 7
Na
figura abaixo os catetos do triângulo retângulo medem 7 cm e 24 cm. Com base
nessa informação, encontre a hipotenusa desse triângulo.
Dica:
Ø Pode
ser utilizado o Teorema de Pitágoras?
Solução:
Espera-se
que o aluno seja capaz de substituir em a^2 = b^2 + c^2 os valores dos catetos e efetuar o
cálculo.
a^2
= b^2 + c^2
a^2
= 7^2 + 24^2
a^2 = 49 + 576
a^2
= 625
a = 25
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