domingo, 16 de junho de 2013

PLANO DE AULA - Tema: Teorema de Pitágoras

 
A postagem deste plano de aula é a parte final de um processo de formação para professores desenvolvido no curso Melhor Gestão, Melhor Ensino, oferecido por meio da Escola de Formação e Aperfeiçoamento dos Professores do Estado de São Paulo “Paulo Renato Costa Souza” (EFAP) e da Coordenadoria de Gestão da Educação Básica (CGEB), tendo como objetivo a socialização do trabalho de escrita colaborativa realizado em sua construção. Esperamos que o nosso trabalho possa auxiliar na reflexão da prática docente e assim contribuir para a melhoria da qualidade do ensino de Matemática.

PLANO DE AULA

Disciplina: MATEMÁTICA

Professores: Aparecida Benedita de Souza, Ana Claudia Perez, André Luiz Ribeiro, Andréia Marina Duarte Miranda, Denis Hitoshi Genovez Comine e Eni Novaes Miranda

Tema : Teorema de Pitágoras

Conteúdo: Demonstrações geométricas e algébricas;

Competências e habilidades:
  • O aluno deverá ter o conhecimento prévio das figuras geométricas e suas respectivas áreas
  • Identificar padrões  numéricos e geométricos;
  • Interpretar enunciados;
  • Resolução de problemas em diferentes contextos que envolvam as relações métricas no triângulo retângulo;
  • Calcular;
  • Medir;
  • Interpretar.

Ano/Série: 8º Ano/ Vol. 4

Duração: 12 aulas

Justificativa: Devido a grande dificuldade que muitos alunos encontram na identificação e compreensão do Teorema de Pitágoras, bem como em sua aplicação na resolução de situações-problema na disciplina de Matemática do ensino fundamental e posteriormente nas disciplinas de Matemática e Física do ensino médio, vê-se necessária a aplicação deste plano de aula para que ao final o aluno possa construir e compreender de forma consistente o conceito deste teorema e relacioná-lo nas mais diversas situações de seu cotidiano.

Objetivo:
  • Relacionar as áreas dos quadrados construídos a partir dos lados de um triângulo retângulo e assim construir formalmente o conceito do Teorema de Pitágoras;
  • Compreender a relação entre hipotenusa e catetos abordada no Teorema de Pitágoras;
  • Identificar e resolver situações que envolvam a utilização do Teorema de Pitágoras;
  • Identificar e interpretar a aplicação do Teorema de Pitágoras em situações-problema do seu cotidiano.


Estratégias:
  • Proposição de atividades de investigação através de livros e ferramentas de busca na internet;
  • Resolução de problemas com situações-problema contextualizadas;
  • Trabalho extraclasse com exercícios de desenvolvimento.
  • Exibição de filmes;
  • Construção de triângulos, através da utilização do software Geogebra, para comprovação dos resultados obtidos pelo aluno através da aplicação do Teorema de Pitágoras.

Metodologia:
   Através de recortes com papel quadriculado demonstrar os diferentes tipos de triângulo, inclusive o triângulo retângulo.
Em seguida pedir aos alunos que desenhem um triângulo retângulo ( ABC) ,qualquer, retângulo em A.         
 
Em seguida construir os quadrados de lados (AB), (BC) e (AC), sobre cada um dos lados do triângulo.

Em seguida, desenha as diagonais do quadrado de lado [AC], para determinares o centro O do quadrado.
Por O traça dois segmentos de reta paralelos aos lados do quadrado de lado [BC].
 O quadrado ficou dividido em 4 partes que se numeram de 1 a 4. O quadrado de lado [AB], numera-se com o número 5.

Recorta as 5 partes numeradas e com elas tenta obter o quadrado de lado [C].
Depois de ter construído com as 5 partes numeradas o quadrado de lado [BC], vamos investigar  qual a relação existente entre as áreas dos quadrados de lados [AB], [BC] e [AC].
Daí vem a relação: área formada pelo lado maior do triangulo é igual a soma das áreas formadas pelos lados menores do triângulo.
C2= A2 + B2
Demonstrado o teorema, vamos realizar atividades com sua aplicação, utilizando para isso as atividades do caderno do aluno.


Recursos:
  • Caderno de atividades do aluno;
  • Papel quadriculado, caderno, tesoura, lápis, régua, lousa e giz;
  • Computador com acesso a internet;
  • Software Geogebra;
  • Calculadora;
  • Livros: Descobrindo padrões pitagóricos do Prof. Ruy Madsen Barbosa (Editora Atual), Coleção “Vivendo Matemática”, o volume Descobrindo O Teorema de Pitágoras, de Luiz Marcio Imenes (Editora Scipione);
  • Leitura de textos para melhorar a percepção e a identificação das diversas aplicações do Teorema de Pitágoras.
  

Avaliação:
  • Observação diária da resolução das questões propostas;
  • Correção dos exercícios extra-classe;
  • Avaliação escrita para avaliar a assimilação do tema/conteúdo proposto;
  • Participação na realização das atividades propostas
  • Produção de textos com o objetivo de narrar a trajetória do aluno até a obtenção do resultado;
  • Produção de textos com o objetivo de identificar a aplicação do Teorema de Pitágoras em seu meio;

Recuperação:

  • Atividades diversificadas para auxiliar na fixação dos conteúdos;
  • Recuperação contínua no decorrer das atividades sempre que for diagnosticada a necessidade;

Referências:
Currículo da SEE
Caderno do aluno
Livro: Praticando Matemática,  Idéias e relações (editora nova didática),tempo de matemática ( editora do brasil. Entre outros.

Mapa de percurso



Aplicando o Teorema de Pitágoras em uma situação-problema


Situação problema


Utilizando atividades apresentadas no caderno do aluno, 8º ano, volume 4 de Matemática do currículo oficial do Estado de São Paulo, propõe-se  o emprego das idéias de  Polya na resolução de problemas para construir um caminho capaz de levar o aluno a enxergar a relação que existe entre a área de um quadrado construído sobre a hipotenusa e as áreas dos quadrados construídos sobre os catetos de um triângulo retângulo e, desta forma, fornecer subsídios para que o aluno possa aproveitar  de forma mais consistente e significativa dos diversos conceitos métricos, associados a polígonos.

Seguindo uma sequência de atividades que tiram proveito em uma perspectiva histórica da analise de fatos relacionados a padrões numéricos e geométricos que, por sua vez, tornam-se argumentos em sua demonstração, trabalhando com diversos exercícios que permitem a identificação e aplicação do Teorema de Pitágoras em situações contextualizadas.

Devido a sua grande abrangência, podemos reconhecer sua aplicabilidade na trigonometria, na geometria e na geometria espacial métrica, sendo muito importante para a compreensão de diversos assuntos que serão apresentados ao longo de sua escolaridade, sendo utilizado tanto no Ensino Fundamental como no Ensino Médio.

Uma caixa de papelão tem o formato de um paralelepípedo reto-retângulo com 24 cm de comprimento, 18 cm de largura e 40 cm de altura, conforme figura a seguir. Encontre a medida do segmento AB, também, chamado de diagonal do prisma.

 
Para esta situação problema será utilizada uma caixa de papelão que o aluno possa manusear verificar suas medidas, medindo ou estimando o comprimento da informação que procura, tornando desta forma, o problema mais interessante, concretizando na prática o resultado alcançado através de sua confirmação. 
v Primeiro passo: Compreender o problema
Neste passo deve ficar claro ao aluno todas as partes que compõem o enunciado do problema e qual o objetivo a ser alcançado. Leitura e interpretação constituem competências fundamentais para quem quer aprender a resolver problemas, portanto pode ser iniciado com alguns questionamentos que irão ajudá-lo a identificar e a relacionar cada uma destas partes para que possa atingir seu objetivo.
Ø  Dicas:
Qual é a incógnita?
Resposta: Espera-se que o aluno seja capaz de responder que o segmento AB, diagonal do paralelepípedo é a incógnita do problema.
Quais são os dados?
Resposta: Espera-se que o aluno seja capaz de responder que o comprimento, a largura e a altura do paralelepípedo são os dados do problema.
Pode ser adotada uma notação adequada? Qual letra usaria para denotar a incógnita, comprimento, largura e altura?
Resposta: Espera-se que o aluno seja capaz de responder  que sim e que x, a, b e c, podem ser usadas na notação.
Qual é a condicionante que relaciona x com a, b e c?
Resposta: Espera-se que o aluno seja capaz de responder que a, b e c são as dimensões de um paralelepípedo, no qual x é a sua diagonal.
Este problema pode ser resolvido? A condicionante é suficiente para determinar a incógnita?
Resposta: Espera-se que o aluno seja capaz de responder que sim e que conhecendo a, b e c, conhecemos o paralelepípedo, portanto também podemos conhecer a sua diagonal.
 
v Segundo passo: Estabelecimento de um plano
Uma vez identificadas e relacionadas cada uma das partes, bem como o objetivo a ser alcançado, o passo seguinte é dar condições ao aluno para que este possa conhecer os cálculos que precisa executar para a obtenção da incógnita.
Criar um plano, conceber uma estratégia de execução é o passo mais importante na resolução de um problema, porém não é tarefa fácil, exige a mobilização de conhecimentos já adquiridos, a formulação de hipóteses sobre quais meios serão mais eficientes e muita persistência. 
Para auxiliar este processo de construção do raciocínio é necessário que o professor  possa agir de forma discreta, levantando questionamentos que naturalmente levarão o aluno a esta descoberta.
Ø    Dicas:
Conhece algum problema ou já resolveu algum exercício semelhante que tenha a mesma incógnita?
Resposta: Espera-se que o aluno seja capaz de associar este problema a aplicação do Teorema de Pitágoras, desenvolvido na atividade sete dos exercícios em anexo.
Aplicando o Teorema de Pitágoras, serão utilizados todos os dados? O resultado obtido será a diagonal do paralelepípedo?
Resposta: Espera-se que o aluno seja capaz de observar que aplicando o Teorema de Pitágoras ele vai encontrar a medida da diagonal da base que é a hipotenusa do triângulo de catetos iguais ao comprimento e a largura e perceber que ainda não utilizou a altura.
É possível aplicar essa nova informação no Teorema de Pitágoras para a obtenção da diagonal do paralelepípedo? Serão utilizados todos os dados? O resultado obtido será a diagonal do paralelepípedo?
Resposta: Espera-se que o aluno seja capaz de concluir que a diagonal da base, que é a incógnita de um problema auxiliar o qual foi introduzido, é um dos catetos do triângulo retângulo que tem como outro cateto a altura do paralelepípedo, e que a diagonal deste paralelepípedo nada mais é do que a hipotenusa do triângulo de catetos iguais a diagonal da base e altura do paralelepípedo.
 
 
v Terceiro passo: Execução do plano
Antes de executar o plano é necessário que o professor, destaque a importância e a necessidade da verificação de cada passo do seu raciocínio para a obtenção do resultado.
Este processo de verificação é muito importante, pois auxilia no desenvolvimento da capacidade de argumentação e análise do raciocínio lógico do aluno, contribuindo para que ele possa enxergar com maior clareza cada operação da execução de seu plano, sanar eventuais dúvidas e a corrigir erros que ainda possam existir.
Quando nada mais houver de obscuro, alguns questionamentos podem ser levantados.
Ø Dicas:
É possível verificar claramente que o plano está correto?
É possível demonstrar que ele está correto?
Resposta: Espera-se que o aluno através do direcionamento do professor seja capaz de adotar uma notação adequada e relacionar os dois triângulos através da introdução de um problema auxiliar cuja incógnita é y, dando um novo significado e dimensão ao problema, consolidando assim o aprendizado, conforme demonstração abaixo:
Temos:
 
Diagonal do triângulo da base: y^2 = a^2 + b^2 
Diagonal do paralelepípedo: x^2 = y^2 + c^2
Substituindo y^2 por a^2 + b^2, temos:
 
x^2 = a^2 + b^2 + c^2
x = raiz quadrada de a^2 + b^2 + c^2
 Substituindo os valores de a, b, c o aluno poderá verificar que o resultado obtido será o mesmo.
 
Uma vez verificado todos os passos e demonstrado que o plano está correto, o aluno terá mais confiança em executá-lo, sendo então necessária apenas paciência e atenção.
Na execução do plano espera-se que o aluno seja capaz de efetuar os seguintes cálculos:
 
y^2 = a^2 + b^2
y^2 = 24^2 + 18^2
y^2 = 576 + 324
y^2 = 900
y= 30
x^2 = y^2 + c^2
x^2 = 30^2 + 40^2
x^2 = 900 + 1600
x^2 = 2500
x = 50
 
v Quarto passo: Retrospecto
Tem como finalidade consolidar o aprendizado e aprimorar substancialmente a capacidade de resolver problemas, através da análise do plano desenvolvido até o resultado final.
Para o aluno deve ficar bastante claro que para cada problema podem ser executados diversos planos para a sua solução e que através de estudo e aprofundamento é possível aperfeiçoar a compreensão de um problema e consequentemente melhorar a sua resolução.
A fim de evidenciar a relação existente entre os problemas matemáticos, sua solução e estabelecer o maior número de relações entre elas, no retrospecto cria-se uma oportunidade legítima e natural de perceber tal relação e extrapolar para situações vivenciadas pelos alunos os passos e resultados obtidos, em um processo de construção e reconstrução do conhecimento.
Ø Dicas:
É possível verificar o resultado ou o método, em algum outro problema?
Resposta: Espera-se que o aluno seja capaz de criar, através do exercício da criatividade e da investigação, com base nos conhecimentos adquiridos, situações problemas com elementos do seu cotidiano em que seja possível a aplicação do que aprendeu, dando sentido e corpo a cada parte abstrata do problema os quais dificilmente serão esquecidas, concretizando assim o aprendizado.
 
 
 
 
 

Sequência de atividades para a construção do conceito do Teorema de Pitágoras


A sequência de atividades propõe o emprego das quatro fases para a resolução de problemas de Polya como metodologia de ensino e aprendizagem do Teorema de Pitágoras, auxiliando o professor da Rede Pública do Estado de São Paulo no desenvolvimento das atividades propostas no caderno do aluno 8º ano, volume 4, situação de aprendizagem 3, onde o estudo de padrões numéricos e geométricos tornam-se argumentos na demonstração deste teorema. Nosso objetivo é desenvolver o raciocínio hipotético dedutivo do aluno na construção de conceitos matemáticos e na compreensão do seu significado, bem como em sua aplicação na resolução de problemas em diferentes contextos.

 
Atividade 1

Utilizando papel quadriculado, construa quadrados de lados iguais a 3, 4 e 5 unidades. Pinte de cores diferentes o interior de cada um deles e calcule suas respectivas áreas. Analise os valores de suas áreas e conclua uma relação entre elas.

Dica:
Ø Qual operação matemática pode ser efetuada para encontrar uma relação entre os três valores?
Solução:
Espera-se que o aluno seja capaz de concluir que a soma das áreas dos quadrados de lados 3 e 4 é igual a área do quadrado de lado 5, ou seja que  3^2+4^2 = 5^2.
 
Atividade 2
Utilizando papel quadriculado, construa um triângulo de lados iguais a 3, 4 e 5 unidades. Recorte os três quadrados da atividade anterior e sobre cada lado do triângulo acomode os quadrados cujas medidas dos lados correspondem às medidas dos lados do triângulo. Considerando que o lado maior do triângulo chama-se hipotenusa e os outros dois lados chamam-se catetos, analise a figura formada e formule uma sentença que associe a soma das áreas dos quadrados ao triângulo de lados 3, 4 e 5.
 
Solução:
Espera-se que o aluno seja capaz de concluir  que os números 3, 4 e 5, lados do triângulo retângulo, se relacionam pela expressão 3^2 + 4^2 = 5^2 e assim formule uma sentença próxima de: A área do quadrado maior é igual à soma das áreas dos quadrados menores, ou seja no triângulo retângulo de lados iguais a 3, 4 e 5, a área do quadrado construído sobre a hipotenusa é igual a soma das áreas dos quadrados sobre os catetos.
Sendo assim, apresentado formalmente o Teorema de Pitágoras:Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos”,  ou simplesmente  A soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”.
 



Atividade 3

Utilizando os três quadrados da atividade anterior, demonstre geometricamente que “Em qualquer triângulo retângulo, a área do quadrado cujo lado é a hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados cujos lados são os catetos”

Dica:

Ø O quadrado menor  pode ser decomposto em quadradinhos?

Solução:

Espera-se que o aluno seja capaz de concluir que o quadrado de lado 4 pode ser sobreposto a 16 quadradinhos do quadrado de lado 5. O quadrado de lado 3 deve ser decomposto de modo a completar a área do quadrado de lado 5.

Ou que, com os quadradinhos formados pela decomposição do quadrado menor, pode-se criar um novo quadrado de lado 5, aumentando o lado do quadrado de lado 4 em uma unidade. Percebe-se então que temos 2 quadrados de mesma área.
 
Atividade 4
Com base nos conhecimentos adquiridos até agora, e observando as figuras abaixo, comprove geometricamente que  a^2 = b^2 + c^2 (Teorema de Pitágoras).


Dica:

Ø A figura 1 pode ser decomposta em quatro triângulos retângulos congruentes e dois quadrados?  Observando que os quadrados tem como lados cada um dos catetos do triângulo retângulo.

Ø A figura 2 pode ser decomposta em quatro triângulos retângulos congruentes e um quadrado?  Observando que o quadrado formado tem lado igual à hipotenusa do triângulo retângulo.

Ø Os triângulos retângulos numerados de 1 a 4 podem ser sobrepostos na figura 3? Observando que eles devem ocupar suas respectivas posições.

Ø Qual a medida do lado do quadrado da figura 3? Observando que é um quadrado de lado igual a soma dos catetos.

Solução:

Espera-se que o aluno seja capaz de concluir  que as figuras 1 e 2 tem a mesma área e que, portanto, retirando-se as áreas dos triângulos retângulos, restam três quadrados, comprovando que a área do quadrado da hipotenusa é igual à soma das áreas dos quadrados dos catetos.

 
Atividade 5
Observe a figura abaixo e com base nos nas informações da atividade anterior prove algebricamente que a^2 = b^2 + c^2 (Teorema de Pitágoras).



Dicas:

Ø Como podemos chamar a medida da hipotenusa e as medidas dos catetos do triângulo retângulo em destaque?

Ø Qual é a área do quadrado maior? Observando que é igual à soma das áreas do quadrado interior inclinado de lado a com os quatro triângulos retângulos de catetos b e c .

Ø Qual a medida do lado do quadrado maior?  Observando que a sua área é igual a (b+c)^2

Ø Qual a área do quadrado interior inclinado de lado a ?

Ø Podemos formar dois retângulos com quatro triângulos retângulos de catetos  b e c? Observando que a soma de suas áreas é igual a 2.b.c

Ø Qual a relação existente entre essas áreas?

Solução:
Espera-se que o aluno seja capaz de concluir que (b + c)^2 = a^2 + 2bc  e efetuar os cálculos:
(b+c)^2 = a^2+2bc
b^2+2bc+c^2 + a^2+2bc
b^2 +c^2= a^2
 
 
Atividade 6
Observe a figura abaixo e responda a pergunta: É possível construir um quadrado cujos lados sejam iguais a  a + b e provar algebricamente que a^2 + b^2 = c^2?
 
Dicas:
Ø Qual a área da figura 1?
Ø Qual a área do quadrado dentro da figura 2?
Ø Retirando o quadrado de lado c da figura 2, sobram quantos triângulos retângulos? Observando que são triângulos de hipotenusa c e catetos iguais a b e c.
Ø Qual a área dos quatro triângulos retângulos?  Observando que essa área é igual a        4. ab/2 = 2ab
Ø Qual a relação existente entre essas áreas?
Solução:
Espera-se que o aluno seja capaz de concluir que (a+b)^2 = c^2 + 2ab e efetuar os cálculos:
 
 
(a+b)^2 = c^2 + 2ab
a^2 + 2ab + b^2 = c^2 + 2ab
a^2 + b^2 = c^2
 
Atividade 7
Na figura abaixo os catetos do triângulo retângulo medem 7 cm e 24 cm. Com base nessa informação, encontre a hipotenusa desse triângulo.


Dica:

Ø Pode ser utilizado o Teorema de Pitágoras?

Solução:

Espera-se que o aluno seja capaz de substituir em a^2 = b^2 + c^2 os valores dos catetos e efetuar o cálculo.

a^2 = b^2 + c^2

a^2 = 7^2 + 24^2

a^2 = 49 + 576

a^2 = 625

a = 25